您的位置:成都专升本学校 > 报考指南 >

【四川专升本】成人高考复习资料数学1--多元函数积分学

作者:成都专升本学校  时间:2019-08-15  浏览:59

多元函数积分学

知识结构:

必备基础知识

★二重积分的定义

设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域:Ds1,Ds2,×××,Dsn,其中Dsi表示第i个小区域,也表示它的面积.在每个Dsi上任取一点(xi,hi),作和:

.

如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作,即

.

f(x,y)被积函数,f(x,y)ds被积表达式,ds面积元素,x,y积分变量,D积分区域,积分和.

★二重积分的几何意义

如果f(x,y)³0,被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x,y)处的竖坐标,所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果f(x,y)是负的,柱体就在xOy面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的.

★二重积分的性质(二重积分与定积分有类似的性质)

性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面,即

(k为常数)。

性质2函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和(或差)。

性质3如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1与D2,则

此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

性质4如果在D上,f(x,y)= 1,s 为D的面积,则

此性质的几何意义很明显,因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。

性质5:如果在D上,f(x,y)£g(x,y),则有不等式:

特殊地,

性质6设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,s为D的面积,则有:

.

上述不等式是对二重积分估值的不等式。

性质7(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,s为D的面积,则在D上至少存在一点(x,h)使得:.

★积分区域的分类

(1)上下结构:平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成

特点:

(1)平面图形上下是两条曲线y=f上(x)和y=f下(x),左右是两条直线x=a与x=b;

(2)作穿过平面图形且平行于轴的有向直线,进入区域交的是y=f下(x),出来区域交的是y=f上(x)

例:抛物线、所围成的图形

解:该平面图形为上下结构:

上面是曲线:;

下面是曲线:;

左边是直线:;

右边是直线:。

(2)左右结构:平面图形由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成。

特点:

(1)平面图形左右是两条曲线x=j左(y)和x=j右(y),上下是两条直线y=d与y=c;

(2)作穿过平面图形且平行于轴的有向直线,进入区域交的是x=j左(y),出来区域交的是x=j右(y)。

例:由曲线和直线所围成的图形

解:该平面图形为左右结构:

左边是曲线:;

右边是曲线:;

上面是直线:;

下面是直线:。

主要考察知识点和典型例题:

二重积分是定积分的扩展,是二元函数的积分,具有和定积分相似的定义和性质。从考试的角度看,主要是考查二重积分的计算,考查方法是直接给定一个二重积分,让我们选择合适的方法进行计算。

二重积分的计算首先要确定坐标系,即:是在直角坐标系下还是在极坐标系下计算,两种情况往年都考过,所以都需要大家掌握。

(1)当二重积分的积分区域为圆面、环面、扇面等区域时,考虑用极坐标;当被积函数含有、、也要考虑极坐标。

(2)其余情况一般考虑在直角坐标系下计算。

考点一:利用直角坐标计算二重积分(转化为二次积分)

1、上下结构区域:D:j1(x)£y£j2(x),a£x£b.

(先后)

法则:前看端点,后作平行

(2)左右结构区域:D:y1(y)£x£y2(y),c£y£d

(先后)

法则:前看端点,后作平行

典型例题计算,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域.

解:

方法一.可把D看成是上下结构区域:1£x£2,1£y£x.于是

.

方法二.也可把D看成是左右结构区域:1£y£2,y£x£2.于是

.

【注】:

(1) 若积分区域既是 上下结构区域又是左右结构区域 , 则有

为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.

(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干上下结构域或左右结构域 , 则

考点二:利用极坐标计算二重积分(转化为二次积分)

若积分区域可表示为:

a£q£b,j1(q)£r£j2(q),则

=.

典型例题:计算,其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域.

解在极坐标系中,闭区域D可表示为

0£r£a,0£q£2p.

于是

.

往年真题:计算,其中为与的公共部分。

解:在极坐标系中,闭区域D可表示为

0£q£,0£r£,

于是

本站所提供的部分文章资讯、软件资源、素材源码等内容均为作者提供、网友推荐、互联网整理而来 (部分报媒/平媒内容转载自网络合作媒体),仅供学习参考,如有侵犯您的版权,请联系我们,本职校 招生网将在三个工作日内改正。

上一篇:【四川成考】专升本复习资料语文--文学基本知识
下一篇:【四川成人高考】专升本复习资料语文--《论学问》(泛读课文)