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【四川专升本】成人高考复习资料数学1--函数的极值——重点

作者:成都专升本学校  时间:2019-08-15  浏览:59

考点三:函数的极值——重点

函数的极值包括极大值和极小值,是一个局部概念,一个函数可能有多个极大值和极小值。求函数的极值有两种方法:第一充分条件—— 一阶导数法和第二充分条件—— 二阶导数法。主要考查:求函数的极值点和极值。

1、第一充分条件—— 一阶导数法步骤

(1) 确定函数的定义域;

(2) 求可能的极值点:求其导数,解方程求出的全部驻点与不可导点;

(3) 讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况,确定函数的极值点;

(4) 求出各极值点的函数值,就得到函数的全部极值.

典型例题:求出函数的极值.

(1)

(2),令得驻点

(3)列表讨论如下:

0

0

极大值

极小值

(4)所以, 极大值极小值

【注】

(1)函数可能的极值点为驻点和不可导点(或不存在的点)。

(2)一阶导数法求极值就是利用单调性来判别极值,其步骤和判别单调性相似。

2、第二种充分条件——二阶导数法

第二充分条件其实就是利用二阶导数求函数的极值,可利用函数的凸凹性记忆。

设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f¢(x0)=0,f¢¢(x0)¹0,那么

(1) 当f¢¢(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值;

(2) 当f¢¢(x0)>0时,函数f(x)在x0处取得极小值;

典型例题:求出函数的极值.

令得驻点

又故极大值

故极小值

【注】时,在点处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.

函数的不可导点, 也可能是函数的极值点.

考点四:函数的最大值和最小值(重点)

函数的最值是常考的知识点,主要包括:函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法、实际问题中的最值问题。

1、函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法:

计算函数在一切可能极值点的函数值,并将它们与相比较,这些值中最大的就是最大值,最小的就是最小值;

(函数的最大值在极值点和端点取得)

典型例题:求在上的最大值与最小值.

解解方程得

计算

比较得最大值最小值

2、实际问题中的最值问题

典型例题:设抛物线与轴的交点为,在他们所围成的平面区域内,以线段为下底做内接等腰梯形,设梯形的上底长为,面积为。

a)写出的表达式;

b)求的最大值。

解:

(1)先求交点,由,解得,所以交点的坐标分别为,,,所以:

(2),得到或(舍去);

由所给问题得实际意义知:时,达到最大,最大值。

考点五:曲线的凹凸性的判别(凹凸区间和拐点)

确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤:

(1) 求函数的二阶导数;

(2) 令,解出全部实根,并求出所有使二阶导数不存在的点;

(3) 对步骤(2)中求出的每一个点,检查其邻近左、右两侧的符号,确定曲线的凹凸区间和拐点.

典型例题:求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及凹、凸的区间.

解:

(1)函数y=3x4-4x3+1的定义域为(-¥,+¥);

(2),;

(3)解方程y¢¢=0,得,;

(4)列表判断:

在区间(-¥,0]和[2/3,+¥)上曲线是凹的,在区间[0,2/3]上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3,11/27)是曲线的拐点.

往年真题:曲线的拐点坐标为_______。

解:,,

令y¢¢=0,得.

因为当时,y¢¢>0;当时,y¢¢<0,所以点(0,-1)是曲线的拐点.

考点六:求曲线的渐近线(作为了解即可)

在某个变化过程中曲线逐渐靠近担永远不可能达到的那条直线。

1、水平渐近线:

若,则直线为水平渐近线

例:

铅直渐近线:(其实就是分母为零而分子不为零的点)

若,则直线为铅直渐近线

例、求渐近线

解:∵∴为水平渐近线

∵∴垂直渐近线。(时分母为零而分子不为零)

例求函数的渐近线.

解得水平渐近线

得铅直渐近线(时分母为零而分子不为零)

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