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【四川函授本科】考试复习资料数学1--微分知识点睛(导数的应用)

作者:成都专升本学校  时间:2019-08-15  浏览:59

知识结构:

必备基础知识

★型与型未定式

型:

型:

★函数的单调性的判别定理

设函数在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导.

(1) 若在(a,b)内, 则函数在[a,b]上单调增加;

(2) 若在(a,b)内, 则函数在[a,b]上单调减少.

★极值定义

设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0Î(a,b).如果在x0的某一去心邻域内有f(x)<f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值;如果在x0的某一去心邻域内有f(x)>f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.

★最值定义

设函数f(x)在区间上有定义,对,如果在恒有f(x)<f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个最大值;如果在在恒有f(x)>f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个最小值.

★凹凸性的定义

设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2,恒有

,

那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有

,

那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).

主要考察知识点和典型例题:

考点一:运用洛必达法则求极限:

洛必达法则是一种求极限的非常有效的方法,主要用来求解或的未定式的极限,以及可以转化为或的未定式0×¥、¥-¥的极限。近年考察较为简单,主要是考查:直接用洛必达法则或的未定式的极限。

要求:

(1)拿到一个极限题首先就要代入,看是不是未定式,是那种类型的未定式。

(2)如果是未定式,则可以考虑洛必达法则

典型例题:求

往年真题:求.

【注】

(1)有时一次洛必达法则不能得到极限值,而是得到一个未定式,则可以用多次。

(2)对于型,可利用通分化为型的未定式来计算.

(3)对于型,可将乘积化为除的形式,即化为或型的未定式来计算.

(4)洛必达法则可以和其他求极限方法,尤其是等价代换,混合在一起来用。

典型例题:求

解当时,故

考点二:函数单调性的判别(单调区间和驻点)

函数的单调性是一种非常重要的特性,利用导数判别单调性是一种快捷有效的手段,本部分内容主要考查:求函数的单调区间以及函数的驻点、利用单调性证明不等式。

1、求函数的单调区间以及函数的驻点

步骤:

(1)确定函数的定义域;

(2)求单调增加和单调减少的可能的分界点:导数为零的点(驻点)和导数不存在的点,即:的点和不存在的点。

(3)利用上述点去划分定义域,然后在每一个小区间上验证一阶导数的符号,从而确定函数的单调性。

要求:

(1)理解单调性、单调区间和驻点的概念;

(2)掌握判别单调性的方法——一阶导数法。

典型例题:确定函数的单调区间.

(1)

(2)

ⅰ:驻点;ⅱ不存在的点,没有。

(3)

1

2

0

0

驻点

驻点

函数在上单调增加;上单调减少;在上单调增加;单调区间为

往年真题:函数的单调增加区间是____________.

解因为:,要想使单调增加,需使:

>0,即:,所以函数的单调增加区间是

【注】(1)可能的分界点包括驻点和不可导点。

2、利用单调性证明不等式

思路:见到不等式的证明题,一般就是和单调性有关,其关键是构造一个函数,证明其在某个区间上单调增或单调减即可。

典型例题:当时,试证成立.

证设则

在上连续,且在内可导,在上单调增加,

当时,即证毕.

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